标 题：典型非光滑系统随机响应求解和分析研究

英文标题：Research on Stochastic Response Solution and Analysis of Typical Non-smooth System

作 者： 马世超

指导教师： 宁昕教授

培养院系： 航天学院

学 科： 航空宇航科学与技术

读博寄语： 胸藏万卷志兴邦，心怀赤诚拓天疆

主要研究内容

现代飞行器结构复杂化的发展愈发明显，导致其结构内部存在接触碰撞、相对摩擦等非光滑因素。这些非光滑因素常表现出强非线性和奇异性的特点，对应的非光滑系统动力学响应复杂。与此同时，这类非光滑系统还会受到随机噪声的扰动，从而影响结构的稳定性和飞行器的正常运行。因此，对这类非光滑系统的随机响应分析具有重要的理论和现实意义。目前为止，有关随机激励下非光滑系统响应求解研究主要基于非光滑变换，而常规的近似变换抹去了系统固有的非光滑特征，并且很多解析方法适应性不强，难以满足实际型号需求。因此，针对飞行器结构振动出现的非光滑现象，本项目以结构中存在的几类典型非光滑振子为研究对象，开展噪声激励下系统概率密度的复杂响应研究，提出了一套求解非光滑系统随机响应的数值方法，分析了系统参数对非光滑系统稳定性的影响。本项目是实际工程型号任务中提炼出来的关键基础理论问题，具体研究内容包括：

1.提出了典型随机摩擦系统的瞬态和稳态响应计算的广义胞映射(GCM)方法。利用GCM理论，根据原有的动力学方程进行离散状态空间的划分，通过构建一步转移概率，得到任意步迭代后的响应概率密度。进而将该方法应用于Coulomb摩擦模型和Dahl摩擦模型的响应分析。通过与蒙特卡洛模拟结果对比发现，该方法可用于快速精确得到非光滑摩擦系统的随机响应结果。另外，还讨论了摩擦系统可变参数会诱导随机P-分岔现象的出现，从而影响系统的稳定性。

2.利用改进的GCM方法，研究了自治和非自治弹性碰撞振动系统的随机稳态响应演化。针对仅受随机激励的自治弹性碰撞系统，基于GCM理论，分析了非光滑弹性系数以及非线性系数对于系统概率密度稳定性的影响。对于在谐和激励和随机激励共同作用下的非自治弹性碰撞系统，在保留弹性碰撞过程的基础上，提出了一种将时间t作为状态变量的改进GCM方法。此外，详细研究了弹性碰撞面阻尼系数、系统非线性系数以及外激频率对系统随机P-分岔的影响。并且结合对应确定性系统的分岔图和吸引子、吸引域全局特征，发现稳态概率密度分布与对应确定性系统吸引子和内部混沌鞍的分布具有一定关联性。

3.构建了一种求解具有双边约束接触面的刚性碰撞振动系统稳态响应概率密度的新方法。刚性碰撞的本质在于碰撞过程出现的瞬时速度跳过程，基于该物理过程，提出了一种随机轨迹从一侧接触面出发，在与另一侧约束接触面碰撞后，回到起始接触面的完整映射过程，并将其视为一步转移过程。通过在初始接触面上建立离散状态空间，得到系统在一侧约束面上的稳态响应概率密度。结合Rayleigh型双边碰撞振子，计算不同初始位置、不同碰撞距离、不同恢复系数以及不同噪声强度下响应结果，并验证方法的准确性和适用性。

4.研究了一个应用于卫星上具有双面约束碰撞的压电能量采集器受随机激励和外部激励的稳态响应。对于非自治弹性碰撞模型，结合文中提出的新策略，研究了外激振幅变化时，系统位移、速度以及输出电压出现的随机P分岔现象，并且分析了不同碰撞距离对于输出电压的影响。对于刚性碰撞模型，引入前文提出的完整映射过程，研究了改变碰撞距离、恢复系数以及系统弹性系数时稳态响应概率密度的演化。以上结果充分表明本文提出的几类方法和策略可用于分析典型非光滑动力系统的复杂响应。

主要创新点

针对飞行器结构振动出现的非光滑现象，本项目以结构中存在的几类典型非光滑振子为研究对象，开展噪声激励下系统概率密度的复杂响应研究，提出了一套求解非光滑系统随机响应的数值方法，分析了系统参数对非光滑系统稳定性的影响。具体创新性包括：

1) 针对状态空间连续、Jacobian矩阵不连续的摩擦和弹性碰撞振子，考虑在谐和激励作用下的非自治系统，提出了一种将时间t作为状态变量的广义胞映射(GCM)方法，从而不需对系统做近似变换便可以快速得到系统稳态响应概率密度，在相同条件下对比MC模拟结果，GCM方法与MC模拟结果拟合一致，并且GCM方法比MC模拟在计算时间上缩短了几十倍。

2) 针对状态空间和Jacobian矩阵都不连续的刚性碰撞系统，构建了一种求解此类系统稳态响应概率密度的新方法。提出了一种保留系统非光滑碰撞过程的完整映射过程，并将此过程作为一步转移概率，进而在一侧刚性接触面建立离散状态空间，快速得到系统的稳态响应。不同于常规的分析方法，新方法对于系统参数有着广泛的适用性。

3) 利用提出的改进GCM方法，研究了星载含双边弹性碰撞压电能量采集器的随机稳态响应。发现了外激振幅和碰撞距离变化时系统出现的随机P-分岔现象。利用本项目提出的计算双边刚性碰撞随机响应新方法，研究了此压电能量采集器具有双边刚性碰撞的情形，充分验证了新方法可以用于更高维更复杂的双边碰撞振动系统的响应分析。

代表性创新成果

[1] Shichao Ma, Xin Ning, Liang Wang and Wantao Jia, Wei Xu. Complex response analysis of a non-smooth oscillator under harmonic and random excitations [J]. Applied Mathematics and Mechanics-English Edition, 2021, 42(5): 641-648. (SCI，IF：3.918)

[2] Shichao Ma, Liang Wang, Xin Ning, Xiaole Yue and Wei Xu. Probabilistic responses of three-dimensional stochastic vibro-impact systems [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2019, 126: 308-114. (SCI，IF：9.922)

[3] Shichao Ma, Xin Ning, Liang Wang. Dynamic analysis of stochastic friction systems using the generalized cell mapping method [J]. CMES-Computer Modeling in Engineering and Sciences, 2020, 122(1)：49-59. (SCI，IF：2.027)

[4] Shichao Ma, Xin Ning, Pengbi Cui, Lili Ren, Liang Wang. Global analysis of crisis in a non-smooth vibration oscillator [C]. The International Conference on Computational and Experimental Engineering and Sciences, 2020, 23(1): 08233. (国际会议论文)

[5] 第五届陕西省研究生创新成果展一等奖，2019，排名1

[6] 第十六届中国研究生数学建模竞赛二等奖，2019